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校長室（自宅）便り⑨ ～有理数と無理数（再考）
情報担当
先日（２６日）、中３の数学の授業（服部先生）を見せてもらいましたが、その際、そもそも、なぜ分数で表すことが出来る数を「有理数」というのかが、大変気になりました。有理数の理は、何を意味しているのでしょうか？
気になると眠れなくなりそうなので、本日（２８日）、佐野市立図書館で、有理数に関して解説している本がないかどうか、探してみました。
そしたら、あったのです！ しかも、２冊も。
①桜井 進「面白くて眠れなくなる数学」（２０１０年８月、PHP出版）
→著者は、東京工業大学理学部数学科卒業、同大学院卒業の「サイエンス・ナビゲーター」。世界初の「数学エンターテイメント」で話題、という有名人です。期待大ですね。気になって眠れないのと、面白くて眠れないのと、どっちを取るかです。
②一松 信「数の世界 －概念の形成と認知」（２０１５年１月、丸善出版）
→著者は１９２６年生まれ、京都大学名誉教授です。著書の冒頭で「数って一体何なのだろう？」と考えたことはありませんか？ と投げかけています。完全に学者の先生ですので、より学問的な裏付けがわかるかもしれません。こちらも期待できそうです。
気になると眠れなくなりそうなので、本日（２８日）、佐野市立図書館で、有理数に関して解説している本がないかどうか、探してみました。
そしたら、あったのです！ しかも、２冊も。
①桜井 進「面白くて眠れなくなる数学」（２０１０年８月、PHP出版）
→著者は、東京工業大学理学部数学科卒業、同大学院卒業の「サイエンス・ナビゲーター」。世界初の「数学エンターテイメント」で話題、という有名人です。期待大ですね。気になって眠れないのと、面白くて眠れないのと、どっちを取るかです。
②一松 信「数の世界 －概念の形成と認知」（２０１５年１月、丸善出版）
→著者は１９２６年生まれ、京都大学名誉教授です。著書の冒頭で「数って一体何なのだろう？」と考えたことはありませんか？ と投げかけています。完全に学者の先生ですので、より学問的な裏付けがわかるかもしれません。こちらも期待できそうです。
①桜井 進「面白くて眠れなくなる数学」からわかったこと
・先日の服部先生の授業では、有理数の例として、分数 22／7 がさりげなく登場していましたが、実は深い意味があったようです。世界の「７月２２日」は「円周率の日」とされていて、22／7 （22÷７）を計算すると、3.142…となり、円周率の近似値になっています。紀元前２５０年、ギリシャの数学者アルキメデスが、世界で最初に円周率を計算によって、22／７と求めました。そのことを記念して、７月２２日は「円周率の日」と制定されているのです。
円周率は紀元前二千年前から探究されてきましたが、その値は長い間、分数で表されていました。小数が発明されたのは今から４００年前に過ぎないのです。
（→ちなみに、日本の「円周率の日」は３月１４日。わかりやすすぎますね！）
・ところで、日本では「分数で表すことが出来る数」を「有理数」と呼んでいますが、英語で「有理数」は何と呼ばれているのでしょうか？英訳すると「Rational Number」となるそうです。形容詞「Rational」の名詞形は「Ratio」で、「Ratio」とは「比」を表しています。つまり、形容詞「Rational」は「比なる数」という意味になります。つまり、分数は分子と分母の数の比なので、「比なる数」だというのです。
しかし、それだったら、日本人が「Rational Number」を日本語に訳すとき、「有理数」ではなく「有比数」とすればよかったのではないでしょうか。
（→これって、誤訳だったの？）
・著者は、ここからさらにもう一歩踏み込みます。実は、英語の「Ratio」の起源となったラテン語の「Ratio」には「計算」という意味があるのです。「計算すること」から「比」に通じ、「Rational」は「計算的な」となり「合理的な」になっていきました。そうすると、「Rational Number」の日本語訳の候補として、「比なる数→有比数」と「合理的な数」すなわち「理が有る数→有理数」の２つあったのに、「有理数」が採用されたことになります。なぜ、後者に軍配があがったのでしょうか？
（→さすがはサイエンス・ナビゲーターですね。理詰めで畳みかけてきます。）
・「ピタゴラスの定理」で有名な、古代ギリシャの数学者ピタゴラス（紀元前６世紀頃）は、「万物の根源は数なり」と言ったと伝えられています。この「数」とは自然数（正の整数）のことです。ピタゴラスの時代、自然数こそが計算できる数、つまり「理性の象徴」というべき存在ととらえられていました。分数は、二つの自然数の比として考えられる（計算できる）数に他ならず、そうでない数は「非合理的な」という意味となり、排斥されるべき「考えてはいけない存在」だったというのです。そうした歴史的な背景を考慮し、「Ratinal Number」を「有理数」と訳したのではないか、というのが著者の説です。
（→なるほど、説得力ありますね）
・一方、「無理数」の概念は、もっと後になってから出てきます。現代では、√２やπ（円周率）が無理数であることは知られています。しかし、無理数であること（＝分数では表すことが出来ないこと）を証明することは、そう簡単ではありませんでした。円周率πが無理数であることが証明されたのは１７６１年になってからのことでした。４００年前、小数点が発明されたことで、ようやく分数を超えて「無理数」への挑戦が始まったのです。
（→確かに、有理数と無理数はセットになっていますので、「無理数」が存在することがわかって、初めて「有理数」という概念が生じてきたのですね。）
・無理数の英訳は「Irrational Number」で、打消しの接頭語Irがついているので、「比に非ず」と「非合理的」の意味があります。この英語を始めて日本語に訳した昔の日本人数学者は、「非合理的」を採用して、「無理」という言葉をあてたのではないか。
（→個人的には、著者の考えに深く納得しました。）
②一松 信「数の世界」からわかったこと
・こちらの著者は、「有理数」について、以下のように断言します。
「ピタゴラスは半ば伝説的な人物ですが、その伝統もあって古代ギリシャでは当初すべての数は互いに整数の比で表わされる、つまり整数の比で表される分数だけで十分と考えていました。今日では整数の比で表される数を「有理数」といいます。これはRational Number の訳語ですが、原義は「ratio（比）をもつ数」の意味で、むしろ「有比数」と呼ぶのが的確でした。しかし、すでにこの語が定着しているので、厳格にいえば「誤訳」ですがそのまま使います。」と述べています。
（→つまり、昔の日本人数学者が訳した言葉なので、なぜそのように訳したのかを詮索してもしようがない。それは、学問的にはさして重要なことではない。ということでしょうか。なるほど、学者としては、そのように考えるものなのかもしれませんね。）
・しかし、この本には、√２が無理数であることの証明や、なぜ、0.9999999…＝１なのか、の証明が詳しく紹介されています。先日の服部先生の授業では、0.9999999…＝１が正しいのかどうかわかりませんでしたが、この本では、0.99999999…＝1 であることを証明しています。てっきり間違いだと思っていましたが、数学的に正解でした。それを知れただけでも、この本を読んだ価値がありました。
（→もっとも、全部は読んでませんけどね。興味あるところだけです。文献調査をする際は全部読む必要は全くありません。）
＊最後に一言。これらはいわゆる「文献調査」です。たった２冊の本でしたが、その主張は微妙に異なっていましたね。
＊自分にとって、どちらがより納得するか、という見方はありますが、どちらが正しいとは判断できません。文献調査をする際は、最低でも複数の文献にあたらないと危険です。文献調査で間違ったことをうのみにしてしまうと、そもそも前提から間違った方向に研究が進んでしまう可能性があるからです。
＊少なくとも、「諸説あります」くらいの知識がないと、「チコちゃんに叱られますよ！」
①桜井 進「面白くて眠れなくなる数学」からわかったこと
・先日の服部先生の授業では、有理数の例として、分数 22／7 がさりげなく登場していましたが、実は深い意味があったようです。世界の「７月２２日」は「円周率の日」とされていて、22／7 （22÷７）を計算すると、3.142…となり、円周率の近似値になっています。紀元前２５０年、ギリシャの数学者アルキメデスが、世界で最初に円周率を計算によって、22／７と求めました。そのことを記念して、７月２２日は「円周率の日」と制定されているのです。
円周率は紀元前二千年前から探究されてきましたが、その値は長い間、分数で表されていました。小数が発明されたのは今から４００年前に過ぎないのです。
（→ちなみに、日本の「円周率の日」は３月１４日。わかりやすすぎますね！）
・ところで、日本では「分数で表すことが出来る数」を「有理数」と呼んでいますが、英語で「有理数」は何と呼ばれているのでしょうか？英訳すると「Rational Number」となるそうです。形容詞「Rational」の名詞形は「Ratio」で、「Ratio」とは「比」を表しています。つまり、形容詞「Rational」は「比なる数」という意味になります。つまり、分数は分子と分母の数の比なので、「比なる数」だというのです。
しかし、それだったら、日本人が「Rational Number」を日本語に訳すとき、「有理数」ではなく「有比数」とすればよかったのではないでしょうか。
（→これって、誤訳だったの？）
・著者は、ここからさらにもう一歩踏み込みます。実は、英語の「Ratio」の起源となったラテン語の「Ratio」には「計算」という意味があるのです。「計算すること」から「比」に通じ、「Rational」は「計算的な」となり「合理的な」になっていきました。そうすると、「Rational Number」の日本語訳の候補として、「比なる数→有比数」と「合理的な数」すなわち「理が有る数→有理数」の２つあったのに、「有理数」が採用されたことになります。なぜ、後者に軍配があがったのでしょうか？
（→さすがはサイエンス・ナビゲーターですね。理詰めで畳みかけてきます。）
・「ピタゴラスの定理」で有名な、古代ギリシャの数学者ピタゴラス（紀元前６世紀頃）は、「万物の根源は数なり」と言ったと伝えられています。この「数」とは自然数（正の整数）のことです。ピタゴラスの時代、自然数こそが計算できる数、つまり「理性の象徴」というべき存在ととらえられていました。分数は、二つの自然数の比として考えられる（計算できる）数に他ならず、そうでない数は「非合理的な」という意味となり、排斥されるべき「考えてはいけない存在」だったというのです。そうした歴史的な背景を考慮し、「Ratinal Number」を「有理数」と訳したのではないか、というのが著者の説です。
（→なるほど、説得力ありますね）
・一方、「無理数」の概念は、もっと後になってから出てきます。現代では、√２やπ（円周率）が無理数であることは知られています。しかし、無理数であること（＝分数では表すことが出来ないこと）を証明することは、そう簡単ではありませんでした。円周率πが無理数であることが証明されたのは１７６１年になってからのことでした。４００年前、小数点が発明されたことで、ようやく分数を超えて「無理数」への挑戦が始まったのです。
（→確かに、有理数と無理数はセットになっていますので、「無理数」が存在することがわかって、初めて「有理数」という概念が生じてきたのですね。）
・無理数の英訳は「Irrational Number」で、打消しの接頭語Irがついているので、「比に非ず」と「非合理的」の意味があります。この英語を始めて日本語に訳した昔の日本人数学者は、「非合理的」を採用して、「無理」という言葉をあてたのではないか。
（→個人的には、著者の考えに深く納得しました。）
②一松 信「数の世界」からわかったこと
・こちらの著者は、「有理数」について、以下のように断言します。
「ピタゴラスは半ば伝説的な人物ですが、その伝統もあって古代ギリシャでは当初すべての数は互いに整数の比で表わされる、つまり整数の比で表される分数だけで十分と考えていました。今日では整数の比で表される数を「有理数」といいます。これはRational Number の訳語ですが、原義は「ratio（比）をもつ数」の意味で、むしろ「有比数」と呼ぶのが的確でした。しかし、すでにこの語が定着しているので、厳格にいえば「誤訳」ですがそのまま使います。」と述べています。
（→つまり、昔の日本人数学者が訳した言葉なので、なぜそのように訳したのかを詮索してもしようがない。それは、学問的にはさして重要なことではない。ということでしょうか。なるほど、学者としては、そのように考えるものなのかもしれませんね。）
・しかし、この本には、√２が無理数であることの証明や、なぜ、0.9999999…＝１なのか、の証明が詳しく紹介されています。先日の服部先生の授業では、0.9999999…＝１が正しいのかどうかわかりませんでしたが、この本では、0.99999999…＝1 であることを証明しています。てっきり間違いだと思っていましたが、数学的に正解でした。それを知れただけでも、この本を読んだ価値がありました。
（→もっとも、全部は読んでませんけどね。興味あるところだけです。文献調査をする際は全部読む必要は全くありません。）
＊最後に一言。これらはいわゆる「文献調査」です。たった２冊の本でしたが、その主張は微妙に異なっていましたね。
＊自分にとって、どちらがより納得するか、という見方はありますが、どちらが正しいとは判断できません。文献調査をする際は、最低でも複数の文献にあたらないと危険です。文献調査で間違ったことをうのみにしてしまうと、そもそも前提から間違った方向に研究が進んでしまう可能性があるからです。
＊少なくとも、「諸説あります」くらいの知識がないと、「チコちゃんに叱られますよ！」
・先日の服部先生の授業では、有理数の例として、分数 22／7 がさりげなく登場していましたが、実は深い意味があったようです。世界の「７月２２日」は「円周率の日」とされていて、22／7 （22÷７）を計算すると、3.142…となり、円周率の近似値になっています。紀元前２５０年、ギリシャの数学者アルキメデスが、世界で最初に円周率を計算によって、22／７と求めました。そのことを記念して、７月２２日は「円周率の日」と制定されているのです。
円周率は紀元前二千年前から探究されてきましたが、その値は長い間、分数で表されていました。小数が発明されたのは今から４００年前に過ぎないのです。
（→ちなみに、日本の「円周率の日」は３月１４日。わかりやすすぎますね！）
・ところで、日本では「分数で表すことが出来る数」を「有理数」と呼んでいますが、英語で「有理数」は何と呼ばれているのでしょうか？英訳すると「Rational Number」となるそうです。形容詞「Rational」の名詞形は「Ratio」で、「Ratio」とは「比」を表しています。つまり、形容詞「Rational」は「比なる数」という意味になります。つまり、分数は分子と分母の数の比なので、「比なる数」だというのです。
しかし、それだったら、日本人が「Rational Number」を日本語に訳すとき、「有理数」ではなく「有比数」とすればよかったのではないでしょうか。
（→これって、誤訳だったの？）
・著者は、ここからさらにもう一歩踏み込みます。実は、英語の「Ratio」の起源となったラテン語の「Ratio」には「計算」という意味があるのです。「計算すること」から「比」に通じ、「Rational」は「計算的な」となり「合理的な」になっていきました。そうすると、「Rational Number」の日本語訳の候補として、「比なる数→有比数」と「合理的な数」すなわち「理が有る数→有理数」の２つあったのに、「有理数」が採用されたことになります。なぜ、後者に軍配があがったのでしょうか？
（→さすがはサイエンス・ナビゲーターですね。理詰めで畳みかけてきます。）
・「ピタゴラスの定理」で有名な、古代ギリシャの数学者ピタゴラス（紀元前６世紀頃）は、「万物の根源は数なり」と言ったと伝えられています。この「数」とは自然数（正の整数）のことです。ピタゴラスの時代、自然数こそが計算できる数、つまり「理性の象徴」というべき存在ととらえられていました。分数は、二つの自然数の比として考えられる（計算できる）数に他ならず、そうでない数は「非合理的な」という意味となり、排斥されるべき「考えてはいけない存在」だったというのです。そうした歴史的な背景を考慮し、「Ratinal Number」を「有理数」と訳したのではないか、というのが著者の説です。
（→なるほど、説得力ありますね）
・一方、「無理数」の概念は、もっと後になってから出てきます。現代では、√２やπ（円周率）が無理数であることは知られています。しかし、無理数であること（＝分数では表すことが出来ないこと）を証明することは、そう簡単ではありませんでした。円周率πが無理数であることが証明されたのは１７６１年になってからのことでした。４００年前、小数点が発明されたことで、ようやく分数を超えて「無理数」への挑戦が始まったのです。
（→確かに、有理数と無理数はセットになっていますので、「無理数」が存在することがわかって、初めて「有理数」という概念が生じてきたのですね。）
・無理数の英訳は「Irrational Number」で、打消しの接頭語Irがついているので、「比に非ず」と「非合理的」の意味があります。この英語を始めて日本語に訳した昔の日本人数学者は、「非合理的」を採用して、「無理」という言葉をあてたのではないか。
（→個人的には、著者の考えに深く納得しました。）
②一松 信「数の世界」からわかったこと
・こちらの著者は、「有理数」について、以下のように断言します。
「ピタゴラスは半ば伝説的な人物ですが、その伝統もあって古代ギリシャでは当初すべての数は互いに整数の比で表わされる、つまり整数の比で表される分数だけで十分と考えていました。今日では整数の比で表される数を「有理数」といいます。これはRational Number の訳語ですが、原義は「ratio（比）をもつ数」の意味で、むしろ「有比数」と呼ぶのが的確でした。しかし、すでにこの語が定着しているので、厳格にいえば「誤訳」ですがそのまま使います。」と述べています。
（→つまり、昔の日本人数学者が訳した言葉なので、なぜそのように訳したのかを詮索してもしようがない。それは、学問的にはさして重要なことではない。ということでしょうか。なるほど、学者としては、そのように考えるものなのかもしれませんね。）
・しかし、この本には、√２が無理数であることの証明や、なぜ、0.9999999…＝１なのか、の証明が詳しく紹介されています。先日の服部先生の授業では、0.9999999…＝１が正しいのかどうかわかりませんでしたが、この本では、0.99999999…＝1 であることを証明しています。てっきり間違いだと思っていましたが、数学的に正解でした。それを知れただけでも、この本を読んだ価値がありました。
（→もっとも、全部は読んでませんけどね。興味あるところだけです。文献調査をする際は全部読む必要は全くありません。）
＊最後に一言。これらはいわゆる「文献調査」です。たった２冊の本でしたが、その主張は微妙に異なっていましたね。
＊自分にとって、どちらがより納得するか、という見方はありますが、どちらが正しいとは判断できません。文献調査をする際は、最低でも複数の文献にあたらないと危険です。文献調査で間違ったことをうのみにしてしまうと、そもそも前提から間違った方向に研究が進んでしまう可能性があるからです。
＊少なくとも、「諸説あります」くらいの知識がないと、「チコちゃんに叱られますよ！」
①桜井 進「面白くて眠れなくなる数学」からわかったこと
・先日の服部先生の授業では、有理数の例として、分数 22／7 がさりげなく登場していましたが、実は深い意味があったようです。世界の「７月２２日」は「円周率の日」とされていて、22／7 （22÷７）を計算すると、3.142…となり、円周率の近似値になっています。紀元前２５０年、ギリシャの数学者アルキメデスが、世界で最初に円周率を計算によって、22／７と求めました。そのことを記念して、７月２２日は「円周率の日」と制定されているのです。
円周率は紀元前二千年前から探究されてきましたが、その値は長い間、分数で表されていました。小数が発明されたのは今から４００年前に過ぎないのです。
（→ちなみに、日本の「円周率の日」は３月１４日。わかりやすすぎますね！）
・ところで、日本では「分数で表すことが出来る数」を「有理数」と呼んでいますが、英語で「有理数」は何と呼ばれているのでしょうか？英訳すると「Rational Number」となるそうです。形容詞「Rational」の名詞形は「Ratio」で、「Ratio」とは「比」を表しています。つまり、形容詞「Rational」は「比なる数」という意味になります。つまり、分数は分子と分母の数の比なので、「比なる数」だというのです。
しかし、それだったら、日本人が「Rational Number」を日本語に訳すとき、「有理数」ではなく「有比数」とすればよかったのではないでしょうか。
（→これって、誤訳だったの？）
・著者は、ここからさらにもう一歩踏み込みます。実は、英語の「Ratio」の起源となったラテン語の「Ratio」には「計算」という意味があるのです。「計算すること」から「比」に通じ、「Rational」は「計算的な」となり「合理的な」になっていきました。そうすると、「Rational Number」の日本語訳の候補として、「比なる数→有比数」と「合理的な数」すなわち「理が有る数→有理数」の２つあったのに、「有理数」が採用されたことになります。なぜ、後者に軍配があがったのでしょうか？
（→さすがはサイエンス・ナビゲーターですね。理詰めで畳みかけてきます。）
・「ピタゴラスの定理」で有名な、古代ギリシャの数学者ピタゴラス（紀元前６世紀頃）は、「万物の根源は数なり」と言ったと伝えられています。この「数」とは自然数（正の整数）のことです。ピタゴラスの時代、自然数こそが計算できる数、つまり「理性の象徴」というべき存在ととらえられていました。分数は、二つの自然数の比として考えられる（計算できる）数に他ならず、そうでない数は「非合理的な」という意味となり、排斥されるべき「考えてはいけない存在」だったというのです。そうした歴史的な背景を考慮し、「Ratinal Number」を「有理数」と訳したのではないか、というのが著者の説です。
（→なるほど、説得力ありますね）
・一方、「無理数」の概念は、もっと後になってから出てきます。現代では、√２やπ（円周率）が無理数であることは知られています。しかし、無理数であること（＝分数では表すことが出来ないこと）を証明することは、そう簡単ではありませんでした。円周率πが無理数であることが証明されたのは１７６１年になってからのことでした。４００年前、小数点が発明されたことで、ようやく分数を超えて「無理数」への挑戦が始まったのです。
（→確かに、有理数と無理数はセットになっていますので、「無理数」が存在することがわかって、初めて「有理数」という概念が生じてきたのですね。）
・無理数の英訳は「Irrational Number」で、打消しの接頭語Irがついているので、「比に非ず」と「非合理的」の意味があります。この英語を始めて日本語に訳した昔の日本人数学者は、「非合理的」を採用して、「無理」という言葉をあてたのではないか。
（→個人的には、著者の考えに深く納得しました。）
②一松 信「数の世界」からわかったこと
・こちらの著者は、「有理数」について、以下のように断言します。
「ピタゴラスは半ば伝説的な人物ですが、その伝統もあって古代ギリシャでは当初すべての数は互いに整数の比で表わされる、つまり整数の比で表される分数だけで十分と考えていました。今日では整数の比で表される数を「有理数」といいます。これはRational Number の訳語ですが、原義は「ratio（比）をもつ数」の意味で、むしろ「有比数」と呼ぶのが的確でした。しかし、すでにこの語が定着しているので、厳格にいえば「誤訳」ですがそのまま使います。」と述べています。
（→つまり、昔の日本人数学者が訳した言葉なので、なぜそのように訳したのかを詮索してもしようがない。それは、学問的にはさして重要なことではない。ということでしょうか。なるほど、学者としては、そのように考えるものなのかもしれませんね。）
・しかし、この本には、√２が無理数であることの証明や、なぜ、0.9999999…＝１なのか、の証明が詳しく紹介されています。先日の服部先生の授業では、0.9999999…＝１が正しいのかどうかわかりませんでしたが、この本では、0.99999999…＝1 であることを証明しています。てっきり間違いだと思っていましたが、数学的に正解でした。それを知れただけでも、この本を読んだ価値がありました。
（→もっとも、全部は読んでませんけどね。興味あるところだけです。文献調査をする際は全部読む必要は全くありません。）
＊最後に一言。これらはいわゆる「文献調査」です。たった２冊の本でしたが、その主張は微妙に異なっていましたね。
＊自分にとって、どちらがより納得するか、という見方はありますが、どちらが正しいとは判断できません。文献調査をする際は、最低でも複数の文献にあたらないと危険です。文献調査で間違ったことをうのみにしてしまうと、そもそも前提から間違った方向に研究が進んでしまう可能性があるからです。
＊少なくとも、「諸説あります」くらいの知識がないと、「チコちゃんに叱られますよ！」
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